New PDF release: Analysis 2

Analysis

By Otto Forster

ISBN-10: 3834805750

ISBN-13: 9783834805751

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Mit der Kettenregel f¨ur Funktionen einer Ver¨anderlichen erh¨alt man (x1 , . . , xi−1 , xi+1 , . . , xn sind dabei als Konstanten zu betrachten) ∂ 2 ∂r = (x + . . + x2i + . . + x2n )1/2 ∂xi ∂xi 1 1 xi = (x21 + . . + x2i + . . + x2n )−1/2 · 2xi = . 3) Sei f : R∗+ → R eine beliebige differenzierbare Funktion. Dann ist die zusammengesetzte Funktion x → f (r(x)), die meist kurz mit f (r) bezeichnet wird, auf Rn 0 definiert und dort partiell differenzierbar. Aus der Kettenregel f¨ur Funktionen einer Ver¨anderlichen folgt ∂ ∂r xi f (r) = f (r) = f (r) .

Definition (Partielle Ableitung). Sei U ⊂ Rn eine offene Teilmenge und f : U −→ R I. 1 eine reelle Funktion. f heißt im Punkt x ∈ U partiell differenzierbar in der i-ten Koordinatenrichtung, falls der Limes Di f (x) := lim h→0 f (x + hei ) − f (x) h existiert. Dabei ist ei ∈ Rn der i-te Einheitsvektor, ei = (0, . . , 0, 1, 0, . 2 H¨ohenlinien § 5 Partielle Ableitungen 49 und f¨ur den Limes h → 0 hat man sich auf solche h ∈ R zu beschr¨anken, f¨ur die h = 0 und x + hei ∈ U . Di f (x) heißt i-te partielle Ableitung von f in x.

Man berechne La,b . c) Existiert lim La,0 ? a→−∞ d) Man zeige, dass die logarithmische Spirale jeden Kreis um den Nullpunkt in genau einem Punkt schneidet und berechne den Schnittwinkel. 3. a) Man zeige, dass f¨ur jedes k ∈ [0, 1] das uneigentliche Integral Z 1√ 1 − k2t 2 √ dt E(k) = 0 1 − t2 existiert. E(k) heißt vollst¨andiges elliptisches Integral zweiter Gattung. b) Man dr¨ucke die Bogenl¨ange der Ellipse f : [0, 2π] → R2 , t → (a cost, b sint), mit den Halbachsen a, b ∈ R∗+ mit Hilfe von E(k) aus.

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Analysis 2 by Otto Forster


by Daniel
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