Download PDF by Otto Forster: Analysis 3: Integralrechnung im IRn mit Anwendungen


By Otto Forster

ISBN-10: 3528172525

ISBN-13: 9783528172527

ISBN-10: 3663068145

ISBN-13: 9783663068143

Der vorliegende Band stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik dar und behandelt die Integralrechnung im IR^n mit Anwendungen, insbesondere solche, die für die theoretische Physik correct sind. Der textual content wurde für die 6. Auflage grundlegend überarbeitet und die Integrationstheorie wird nun auf maßtheoretischer Grundlage aufgebaut.

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Beweis. n. Denn die Funktion 'I' E rc~ (U) kann durch 0 trivial auf ganz IRn zu einer Funktion aus rc~ (IRn) fortgesetzt werden. Außerdem genügt es, den Fall i = 1 zu behandeln. Sei also 'I' E rc~ (IRn). Wir wählen RE IR+ so groß, daß Supp ('I') c [- R, R]n. Für jedes feste (x 2 , . 1) Beispiel. n offen und seien /E man durch zweimalige Anwendung von Satz 2 rc 2 (U), g E rc ~ (U). Für i = 1, ... , n erhält =- sat. ag dnx = fta2~ dnx. 1 = u '\' ax; a~ L... 1gdnx, u der Laplace-Operator und 'i7 = (-a- , ...

Beweis. Für die charakteristischen Funktionen gilt XKt(Xt, ... ,Xn-d Daher ist Voln -1 (Kr)= = XK(Xt,···•Xn-1,t). f Rn XK (xl> ... ,Xn -1• t)dx1 ... dxn -1 -1 und nach dem Satz von Fubini (§ 4, Satz 5) Voln(K) = f Voln _ 1 (Kr)dt. 5) Beispiel: Volumen eines Kegels. Rn - 1 eine kompakte Menge und h eine positive reelle Zahl. ~ 1}. 1 50 § 5. 1). Die Schnittmengen Ch(B)t = {x' E IRn - 1 : (x', t) E Ch(B)} sind leer für t < 0 oder t > h und es gilt Ch(B)t= (1-~)B O~t~h. 4) J Voln(Ch(B)) = J h h Voln -1 ( (1-~)B) dt = Voln -1 (B) (1-~r - 1 dt 0 0 = da nVoln _ h 1 (B), f (1-~r- 1 dt= fo-ut- 1 hdu=~.

Wir definieren [: IR-+ IR durch ~ f(x) = { f(x) für xE[a,b], für xEIR\[a,b]. :_f(b) :f 0), gehört aber zu Yf~ (IR). Eine Funktionenfolge fk E C(Jc (IR), k ~ 1, mit fk +f kann man etwa wie und f b+ folgt erhalten: Es sei fk die Funktion, die die Funktion 0 auf IR\ [aauf ~a, b] in den Intervallen [aEs gilt t, J a und [ b, b + J J IR a tJ t, tJ linear interpoliert (vgl. 1). b fk (x)dx = f(a) 2+{(b) + f(x)dx, also b Jf(x)dx Jf(x)dx. 1 Wir wollen jetzt die Funktionen aus ytt und Yf~ durch innere Eigenschaften charakterisieren.

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Analysis 3: Integralrechnung im IRn mit Anwendungen by Otto Forster

by Edward

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